Rozdiel medzi racionálnymi a iracionálnymi číslami

Pojem „čísla“ nám prináša to, čo sa všeobecne klasifikuje ako kladné celé číslo väčšie ako nula. Ostatné triedy čísel zahŕňajú celé čísla a frakcie, komplexné a skutočné čísla a tiež záporné celé čísla.

S rozširovaním klasifikácie čísel sa stretávame racionálne a iracionálne Čísla. Racionálne číslo je číslo, ktoré možno zapísať ako zlomok. Inými slovami, racionálne číslo môže byť napísané ako pomer dvoch čísel.

Zoberme si napríklad číslo 6. Môže sa písať ako pomer dvoch čísiel, viď. 6 a 1, čo vedie k pomeru 6/1. podobne, 2/3, ktoré je napísané ako zlomok, je racionálne číslo.

Môžeme teda definovať racionálne číslo ako číslo napísané vo forme zlomku, pričom čitateľ (číslo hore) aj menovateľ (číslo dole) sú celé čísla. Podľa definície je preto každé celé číslo tiež racionálnym číslom.

Pomer dvoch veľkých čísel, ako napríklad (129367871)/(547724863) by tiež predstavoval príklad racionálneho čísla z jednoduchého dôvodu, že čitateľ aj menovateľ sú celé čísla.

Naopak, akékoľvek číslo, ktoré nemožno vyjadriť vo forme zlomku alebo pomeru, sa označuje ako iracionálne. Najčastejšie citovaným príkladom iracionálneho čísla je √2 (1.414213…). Ďalším populárnym príkladom iracionálneho čísla je číselná konštanta π (3.141592 ... ).

Iracionálne číslo môže byť napísané ako desatinné miesto, ale nie ako zlomok. Iracionálne čísla sa v každodennom živote často nepoužívajú, hoci na číselnom riadku existujú. Medzi nimi je nekonečné množstvo iracionálnych čísel 0 a 1 na číselnom riadku. Iracionálne číslo má nekonečné opakujúce sa číslice napravo od desatinnej čiarky.

Všimnite si, že často uvádzaná hodnota 22/7 pre konštantu π je v skutočnosti iba jedna z hodnôt π. Podľa definície je obvod kruhu delený dvojnásobkom jeho polomeru hodnota π. To vedie k viacerým hodnotám π, vrátane, ale nielen,, 333/106, 355/113 a tak ďalej1.

Iba druhá odmocnina druhých čísel; to znamená, že druhá odmocnina koreňa perfektné štvorce sú racionálne.

√1= 1 (Rational)

√2 (Iracionálne)

√3 (Iracionálne)

√4 = 2 (Rational)

√5, √6, √7, √8 (Iracionálne)

√9 = 3 (Racionálne) atď.

Ďalej poznamenávame, že iba nkorene nprávomoci sú racionálne. Tak, 6. koreň 64 je racionálne, pretože 64 je a 6. moc, a to 6. moc 2. Ale 6. koreň 63 je iracionálne. 63 nie je dokonalý 6th moc.

Desatinné zobrazenie iracionov sa nevyhnutne objavuje v obraze a prináša zaujímavé výsledky.

Keď vyjadríme a racionálne číslo ako desatinné miesto, potom bude buď desatinné miesto presný (ako v 1/5= 0.20) alebo bude nepresný (ako v, 1/3 ≈ 0,3333). V obidvoch prípadoch bude existovať predvídateľný vzorec číslic. Všimnite si, že keď iracionálne číslo je vyjadrené ako desatinné miesto, potom bude jednoznačne nepresné, pretože v opačnom prípade by bolo číslo racionálne.

Navyše nebude existovať predvídateľný obrazec číslic. Napríklad,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Teraz, s racionálnymi číslami, sa občas stretávame 1/11 = 0,0909090.

Použitie obidvoch znakov rovnosti (=) a tri bodky (elipsa) znamená, že hoci nie je možné vyjadriť sa 1/11 presne ako desatinné miesto, stále ho môžeme aproximovať s rovnakým počtom desatinných miest, ako je to povolené 1/11.

To znamená, že desatinná forma 1/11 sa považuje za nepresný. Rovnakým znakom je aj desatinná forma  ¼ čo je 0,25, je presný.

Pokiaľ ide o desatinné číslo pre iracionálne čísla, budú vždy nepresné. Pokračovanie s príkladom √2, keď píšeme √2 = 1,41421356237… (Všimnite si použitie elipsy), znamená to, že pre ňu nie je žiadne desatinné miesto √2 bude presný. Ďalej nebude existovať predvídateľný obrazec číslic. Pomocou konceptov z numerických metód môžeme opäť racionálne priblížiť toľko desatinných miest, ako je ten bod, ktorý sme blízko √2.

Akákoľvek poznámka o racionálnych a iracionálnych číslach nemôže skončiť bez povinného dôkazu o tom, prečo je √2 iracionálny. Pritom objasňujeme aj klasický príklad a dôkaz pokračovanímradiction.

Predpokladajme, že √2 je racionálny. To nás vedie k tomu, aby sme ho reprezentovali ako pomer dvoch celých čísel p a q.

√2 = p / q

netreba hovoriť, p a q nemajú spoločné faktory, pretože ak by existovali nejaké spoločné faktory, zrušili by sme ich z čitateľa a menovateľa.

Končíme obe strany rovnice a skončíme,

2 = s2 / q2

Toto sa dá pohodlne písať ako,

p2 = 2q2

Posledná rovnica naznačuje, že p2 je párny. To je možné iba vtedy, ak p sám o sebe je vyrovnaný. Z toho vyplýva, že p2 je deliteľné 4. z toho dôvodu, q2 a následne q musí byť vyrovnaný. tak p a q sú dokonca v rozpore s naším pôvodným predpokladom, že nemajú spoločné faktory. teda, √2 nemôže byť racionálny. Q.E.D.