Rozdiel medzi aritmetickou sekvenciou a geometrickou sekvenciou

Aritmetická sekvencia vs. geometrická sekvencia
 

Štúdium vzorcov čísel a ich správania je dôležitým štúdiom v oblasti matematiky. Tieto vzorce sú často viditeľné v prírode a pomáhajú nám vysvetliť ich správanie z vedeckého hľadiska. Aritmetické sekvencie a geometrické sekvencie sú dva základné vzorce, ktoré sa vyskytujú v číslach a často sa vyskytujú v prírodných javoch.

Sekvencia je skupina usporiadaných čísel. Počet prvkov v sekvencii môže byť buď konečný alebo nekonečný.

Viac informácií o aritmetickej postupnosti (aritmetický postup)

Aritmetická postupnosť je definovaná ako postupnosť čísel s konštantným rozdielom medzi každým po sebe idúcim obdobím. Je tiež známa ako aritmetická progresia.

Aritmetická sekvencia ⇒ a₁, ₂, _3, 4,…, A_n ; kde₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, atď.

Ak je pôvodný termín a₁ a spoločný rozdiel je d, potom n^th termín sekvencie je daný;

_n = a₁ + (N-1) d

Tým, že vyššie uvedený výsledok ďalej, n^th pojem môže byť tiež uvedený ako;

_n = a_m + (N-m) d, kde_m je náhodný výraz v sekvencii tak, že n> m.

Sada párnych čísel a párnych čísel sú najjednoduchšie príklady aritmetických sekvencií, kde každá sekvencia má spoločný rozdiel (d) 2.

Počet výrazov v sekvencii môže byť nekonečný alebo konečný. V nekonečnom prípade (n → ∞) má sekvencia sklon k nekonečnu v závislosti od spoločného rozdielu (a_n → ± ∞). Ak je spoločný rozdiel kladný (d> 0), má sekvencia sklon k pozitívnemu nekonečnu a ak je spoločný rozdiel záporný (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Súčet výrazov v aritmetickej postupnosti je známy ako aritmetický rad: S_n= a₁ + ₂ + ₃ + ₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1? ne i;} a S_n = (n / 2) (a₁ + _n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] udáva hodnotu série (S_n).

Viac informácií o geometrickej postupnosti (Geometric Progression)

Geometrická sekvencia je definovaná ako sekvencia, v ktorej je kvocient ktoréhokoľvek z dvoch po sebe nasledujúcich výrazov konštantný. Toto sa tiež nazýva geometrická postupnosť.

Geometrická postupnosť ⇒ a₁, ₂, ₃, ₄,…, A_n; kde₂/ a₁ = r, a₃/ a₂ = r atď., kde r je skutočné číslo.

Je ľahšie reprezentovať geometrickú postupnosť pomocou spoločného pomeru (r) a počiatočného termínu (a). Preto geometrická postupnosť ⇒ a₁, ₁r, a₁r², ₁r³,…, A₁r^n-1.

Všeobecná forma n^th pojmy uvedené v a_n = a₁r^n-1. (Strata indexu počiatočného obdobia term a_n = ar^n-1)

Geometrická postupnosť môže byť tiež konečná alebo nekonečná. Ak je počet termínov obmedzený, postupnosť sa považuje za obmedzenú. A ak sú termíny nekonečné, sekvencia môže byť nekonečná alebo konečná v závislosti od pomeru r. Bežný pomer ovplyvňuje mnoho vlastností v geometrických sekvenciách. 

r> o	0 < r < +1	Sekvencia konverguje - exponenciálny rozklad, t.j.n → 0, n → ∞
	r = 1	Konštantná sekvencia, t.j.n = konštantná
	r> 1	Sekvencia sa líši - exponenciálny rast, t.j.n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvencia kmitá, ale konverguje
	r = 1	Sekvencia je striedavá a konštantná, t.j.n = ± konštantná
	r < -1	Sekvencia sa strieda a líši sa. t.j.n → ± ∞, n → ∞
r = 0	Sekvencia je reťazec núl

N.B: Vo všetkých vyššie uvedených prípadoch a₁ > 0; Ak₁ < 0, the signs related to a_n bude prevrátený.

Časový interval medzi odrazmi lopty sleduje v ideálnom modeli geometrickú sekvenciu a je to konvergentná sekvencia.

Súčet termínov geometrickej postupnosti sa nazýva geometrická séria; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1? ne} ar^ja. Súčet geometrických radov sa môže vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); kde a je počiatočný člen a r je pomer.

Ak je pomer r ≤ 1, séria konverguje. Pre nekonečnú sériu je hodnota konvergencie daná S_n = a / (1-r) 

Aký je rozdiel medzi aritmetickou a geometrickou sekvenciou / progresiou?

• V aritmetickej postupnosti majú ktorékoľvek dva po sebe nasledujúce členy spoločný rozdiel (d), zatiaľ čo v geometrickej postupnosti majú ktorékoľvek dva nasledujúce výrazy konštantný kvocient (r).

• V aritmetickej postupnosti je zmena výrazov lineárna, to znamená, že je možné nakresliť priamku prechádzajúcu všetkými bodmi. V geometrickej sérii je zmena exponenciálna; buď rastú, alebo klesajú na základe spoločného pomeru.

• Všetky nekonečné aritmetické sekvencie sa líšia, zatiaľ čo nekonečné geometrické rady môžu byť rozdielne alebo konvergentné.

• Geometrická séria môže ukázať osciláciu, ak je pomer r negatívny, zatiaľ čo aritmetická séria nevykazuje osciláciu