Rozdiel medzi diskrétnou funkciou a spojitou funkciou

Diskrétna funkcia vs. spojitá funkcia

Funkcie sú jednou z najdôležitejších tried matematických objektov, ktoré sa vo veľkej miere používajú takmer vo všetkých podoblastiach matematiky. Ako už názov napovedá, tak diskrétne, ako aj spojité funkcie sú dva špeciálne typy funkcií.

Funkcia je vzťah medzi dvoma množinami definovanými takým spôsobom, že pre každý prvok v prvej množine je hodnota, ktorá jej zodpovedá v druhej množine, jedinečná. nechať F byť funkciou definovanou z množiny do súpravy B. Potom pre každé xϵ A, symbol F(x) označuje jedinečnú hodnotu v súprave B čo zodpovedá x. Nazýva sa to obraz x pod F. Preto vzťah F od A do B je funkcia, aj keď iba pre každú xϵ A a y ϵ A; ak x = y potom F(X) = f(Y). Sada A sa nazýva doména funkcie F, a je to sada, v ktorej je funkcia definovaná.

Zvážte napríklad vzťah F od R do R definovaného pomocou F(x) = x + 2 pre každý xϵ A. Toto je funkcia, ktorej doména je R, ako pre každé skutočné číslo x a y, x = y znamená F(x) = x + 2 = y + 2 = F(Y). Ale vzťah g z N na N definované pomocou g(x) = a, kde "a" je hlavným faktorom x nie je funkcia ako g(6) = 3, ako aj g(6) = 2.

Čo je to diskrétna funkcia?

Diskrétna funkcia je funkcia, ktorej doména je najviac spočítateľná. Jednoducho to znamená, že je možné vytvoriť zoznam, ktorý obsahuje všetky prvky domény.

Akákoľvek konečná množina je nanajvýš spočítateľná. Množina prirodzených čísel a množina racionálnych čísel sú príklady pre najviac spočítateľné nekonečné množiny. Množinu reálnych čísel a množinu iracionálnych čísel nie je možné spočítať najviac. Obe súpravy sú nespočetné. To znamená, že nie je možné vytvoriť zoznam, ktorý obsahuje všetky prvky týchto súborov.

Jednou z najbežnejších diskrétnych funkcií je faktoriálna funkcia. F : N U 0 → N rekurzívne definované pomocou F(n) = nF(n-1) pre každé n ≥ 1 a F(0) = 1 sa nazýva faktoriálna funkcia. Všimnite si, že jeho doména N U 0 je nanajvýš spočítateľná.

Čo je to nepretržitá funkcia?

nechať F byť funkciou takou, že pre každé k v doméne F, F(X) →F(k) ako x → k. potom Fje nepretržitá funkcia. To znamená, že je možné urobiť Fx) svojvoľne blízke Fk) urobením x dostatočne blízko k pre každé k v doméne F.

Zvážte funkciu F(x) = x + 2 na R. Je zrejmé, že ako x → k, x + 2 → k + 2, to znamená F(X) →F(K). teda, F je nepretržitá funkcia. Teraz zvážte g na kladné reálne čísla g(x) = 1, ak x> 0 a g(x) = 0, ak x = 0. Potom táto funkcia nie je spojitou funkciou ako limit gx) neexistuje (a preto sa nerovná g(0)) ako x → 0.