Rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami

Lineárne vs nelineárne diferenciálne rovnice
 

Rovnica obsahujúca najmenej jeden diferenciálny koeficient alebo derivát neznámej premennej je známa ako diferenciálna rovnica. Diferenciálna rovnica môže byť lineárna alebo nelineárna. Cieľom tohto článku je vysvetliť, čo je lineárna diferenciálna rovnica, čo je nelineárna diferenciálna rovnica a aký je rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami..

Od vývoja počtu v 18. storočí matematikmi ako Newton a Leibnitz zohrávali v príbehu matematiky dôležitú úlohu diferenciálna rovnica. Diferenciálne rovnice majú v matematike veľký význam z dôvodu ich rozsahu aplikácií. Diferenciálne rovnice sú jadrom každého modelu, ktorý vyvíjame, aby sme vysvetlili akýkoľvek scenár alebo udalosť na svete, či už ide o fyziku, strojárstvo, chémiu, štatistiku, finančnú analýzu alebo biológiu (zoznam je nekonečný). V skutočnosti, až kým sa kalkul nestal zavedenou teóriou, neboli k dispozícii vhodné matematické nástroje na analýzu zaujímavých problémov v prírode..

Výsledné rovnice zo špecifického použitia počtu môžu byť veľmi zložité a niekedy nevyriešiteľné. Sú však také, ktoré môžeme vyriešiť, ale môžu vyzerať rovnako a mätúce. Preto sú pre ľahšiu identifikáciu diferenciálne rovnice kategorizované podľa ich matematického správania. Lineárna a nelineárna je jedna takáto kategorizácia. Je dôležité identifikovať rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami.

Čo je lineárna diferenciálna rovnica?

Predpokladajme, že f: X → Y a f (x) = y, a diferenciálna rovnica bez nelineárnych pojmov neznámej funkcie y a jeho deriváty sú známe ako lineárne diferenciálne rovnice.

To ukladá podmienku, že y nemôže mať vyššie indexové podmienky ako y², y³,... a násobky derivátov, napr 

Taktiež nemôže obsahovať nelineárne výrazy ako Sin y, e^{y^ -2}, alebo ln y. Má formu, 

kde y a g sú funkcie X. Rovnica je diferenciálna rovnica poriadku n, čo je index derivátu najvyššieho poriadku.

V lineárnej diferenciálnej rovnici je diferenciálnym operátorom lineárny operátor a riešenia tvoria vektorový priestor. V dôsledku lineárnej povahy súpravy riešení je lineárna kombinácia riešení tiež riešením diferenciálnej rovnice. To znamená, že ak y₁ a y₂ sú teda riešenia diferenciálnej rovnice C₁ y₁+ C₂ y₂ je tiež riešením.

Linearita rovnice je iba jedným parametrom klasifikácie a možno ju ďalej rozdeliť na homogénne alebo nehomogénne a obyčajné alebo parciálne diferenciálne rovnice. Ak je táto funkcia g= 0, potom je rovnica lineárna homogénna diferenciálna rovnica. ak F je funkciou dvoch alebo viacerých nezávislých premenných (f: X, T → Y) a f (x, t) = y , potom je rovnica lineárna parciálna diferenciálna rovnica.

Metóda riešenia pre diferenciálnu rovnicu závisí od typu a koeficientov diferenciálnej rovnice. Najjednoduchší prípad nastane, keď sú koeficienty konštantné. Klasickým príkladom tohto prípadu je Newtonov druhý zákon o pohybe a jeho rôzne aplikácie. Newtonov druhý zákon vytvára lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého poriadku s konštantnými koeficientmi.

Čo je nelineárna diferenciálna rovnica?

Rovnice, ktoré obsahujú nelineárne termíny, sa nazývajú nelineárne diferenciálne rovnice.

 

Všetky vyššie uvedené sú nelineárne diferenciálne rovnice. Nelineárne diferenciálne rovnice je ťažké vyriešiť, preto je potrebné dôkladné preskúmanie, aby sa získalo správne riešenie. V prípade parciálnych diferenciálnych rovníc väčšina rovníc nemá všeobecné riešenie. Preto sa s každou rovnicou musí zaobchádzať nezávisle.

Navier-Stokesova rovnica a Eulerova rovnica v dynamike tekutín, Einsteinove polné rovnice všeobecnej relativity sú dobre známe nelineárne parciálne diferenciálne rovnice. Aplikácia Lagrangeovej rovnice na premenný systém môže niekedy viesť k systému nelineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc.

Aký je rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami?

• Diferenciálna rovnica, ktorá má iba lineárne pomery neznámej alebo závislej premennej a jej derivátov, sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica. Nemá pojem so závislou premennou indexu vyššou ako 1 a neobsahuje žiaden násobok svojich derivátov. Nemôže mať nelineárne funkcie, ako sú trigonometrické funkcie, exponenciálne funkcie a logaritmické funkcie vzhľadom na závislú premennú. Akákoľvek diferenciálna rovnica, ktorá obsahuje vyššie uvedené pojmy, je nelineárna diferenciálna rovnica.

• Riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc vytvárajú vektorový priestor a operátor diferenciálov je tiež lineárnym operátorom vo vektorovom priestore.

• Riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc sú relatívne jednoduchšie a existujú všeobecné riešenia. Pre nelineárne rovnice vo väčšine prípadov všeobecné riešenie neexistuje a riešenie môže byť špecifické pre daný problém. Toto robí riešenie oveľa ťažšie ako lineárne rovnice.