Rozdiel medzi ortogonálnymi a ortonormálnymi

Ortogonálne verzus Orthonormálne

V matematike sa často používajú dve slová ortogonálne a ortonormálne spolu so súborom vektorov. Pojem „vektor“ sa tu používa v tom zmysle, že je prvkom vektorového priestoru - algebraickej štruktúry používanej v lineárnej algebre. Pri našej diskusii zvážime vnútorný priestor produktu - vektorový priestor V spolu s vnútorným produktom [] definované na V.

Napríklad pre vnútorný produkt je priestor súbor všetkých trojrozmerných polohových vektorov spolu s obvyklým bodovým produktom.

Čo je ortogonálne?

Neprázdna podmnožina S vnútorného výrobného priestoru V Hovorí sa, že je ortogonálny, iba vtedy, ak pre každý odlišný u, v v S, [u, v] = 0; to znamená vnútorný produkt u a proti sa rovná nule skaláru vo vnútornom priestore produktu.

Napríklad v skupine všetkých trojrozmerných pozičných vektorov je to ekvivalentné tvrdeniu, že pre každú odlišnú dvojicu pozičných vektorov p a q v S, p a q sú navzájom kolmé. (Pamätajte, že vnútorným produktom v tomto vektorovom priestore je bodový produkt. Bodový produkt dvoch vektorov sa rovná 0, iba ak sú dva vektory navzájom kolmé.)

Zvážte súbor S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), čo je podskupina trojrozmerných polohových vektorov. Všimnite si, že (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Preto súprava S je ortogonálny. Predovšetkým sa uvádza, že dva vektory sú ortogonálne, ak ich vnútorný produkt je 0. Preto každý pár vektorov v Sje ortogonálny.

Čo je ortorormálne?

Neprázdna podmnožina S vnútorného výrobného priestoru V Hovorí sa, že je ortonormálny vtedy a len vtedy, ak S je ortogonálny a pre každý vektor u v S, [u, u] = 1. Preto je možné vidieť, že každá ortonormálna množina je ortogonálna, ale nie naopak.

Napríklad v skupine všetkých trojrozmerných pozičných vektorov je to ekvivalentné tvrdeniu, že pre každú odlišnú dvojicu pozičných vektorov p a q v S, p a q sú kolmé k sebe navzájom a pre seba navzájom p v S, | P | = 1. Je to z dôvodu stavu [p, p] = 1 sa zníži na p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, čo je ekvivalentné | P | = 1. Vzhľadom na ortogonálnu množinu môžeme vždy vytvoriť zodpovedajúcu ortonormálnu množinu vydelením každého vektora jeho veľkosťou..

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) je ortorormálna podmnožina množiny všetkých trojrozmerných polohových vektorov. Je ľahké vidieť, že sa získal delením každého z vektorov v sade S, podľa ich veľkosti.

Aký je rozdiel medzi ortogonálnymi a ortonormálnymi?

• Neprázdna podmnožina S vnútorného výrobného priestoru V Hovorí sa, že je ortogonálny, iba vtedy, ak je pre každú odlišnú u, v v S, [u, v] = 0. Je však ortorormálne, ak a iba ak je to ďalšia podmienka - pre každý vektor u v S, [u, u] = 1 je spokojný.
• Akákoľvek ortonormálna množina je ortogonálna, ale nie naopak.
• Akákoľvek ortogonálna množina zodpovedá jedinečnej ortonormálnej množine, ale ortonormálna množina môže zodpovedať mnohým ortogonálnym množinám.