Rozdiel medzi radmi Power a Taylor

Power Series vs Taylor Series

V matematike je reálna sekvencia usporiadaným zoznamom reálnych čísel. Formálne je to funkcia od množiny prirodzených čísel do množiny reálnych čísel. ak _nje n^th Termín sekvencie označuje sekvenciu pomocou alebo ₁,₂,…, A_n,... Napríklad, zvážte postupnosť 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,…. Môže byť označený ako 1 / n.

Je možné definovať rad pomocou sekvencií. Séria je súčtom podmienok sekvencie. Preto pre každú sekvenciu existuje asociovaná sekvencia a naopak. Ak_n je sledovaná sekvencia, potom je možné sériu vytvorenú touto sekvenciou vyjadriť ako:                                           

 V uvedenom príklade je teda priradená séria 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Ako už názov napovedá, mocninová séria je špeciálnym typom série a vo veľkej miere sa používa v numerickej analýze a súvisiacom matematickom modelovaní. Taylorova séria je špeciálna energetická séria, ktorá poskytuje alternatívny a ľahko manipulovateľný spôsob reprezentácie známych funkcií.

Čo je to séria Power?

Energetická séria je séria podoby

    

čo je konvergentné (možno) na nejaký interval sústredený na C. Koeficienty _n môžu byť skutočné alebo komplexné čísla a sú od nich nezávislé X; tj. figurína premenná.

Napríklad nastavením _n= 1 pre každého n, a C = 0, výkonová séria 1 + x + x²+... + xⁿ+… je získané. Je ľahké pozorovať, že keď x ε (-1,1), táto výkonová séria konverguje na 1 / (1-x).          

Výkonová rada sa zbližuje, keď X = C. Ostatné hodnoty X pre ktoré sa výkonová séria zbližuje, bude mať vždy formu otvoreného intervalu vycentrovaného na C. To je, hodnota bude 0≤ R ≤ ∞ tak, že pre každého X vyhovujúce | x-c | ≤R, výkonová séria je konvergentná a pre každú X  vyhovujúce | x-c |>R, výkonové rady sa líšia. Táto hodnota R sa nazýva polomer konvergencie výkonových radov (R môže mať akúkoľvek skutočnú hodnotu alebo kladné nekonečno).

Výkonové rady môžu byť sčítané, odčítané, násobené a rozdelené podľa nasledujúcich pravidiel. Zoberme si dve série napájania:       

   

                               .

potom,                 

tj. podobné výrazy sa sčítajú alebo odčítajú. Je tiež možné násobiť a deliť tieto dve mocenské série pomocou identity,

Čo je to séria Taylor?

Taylorova séria je definovaná pre funkciu F(X), ktorá je v intervale nekonečne diferencovateľná. predpokladať F(X) je variabilný v intervale vycentrovanom na C. Potom mocnina, ktorá je daná

                                                                                                                                

sa nazýva rozšírenie funkcie Taylorovho radu F(X) o C. (Tu F^(N)(C) Označujú n^th derivát na X = C). V numerickej analýze sa konečný počet výrazov v tejto nekonečnej expanzii používa na výpočet hodnôt v bodoch, kde je séria konvergentná na pôvodnú funkciu..

Funkcia F(X) je považovaná za analytickú v intervale (a, b), ak pre každé x ε (a, b), Taylorova séria F(X) konverguje k funkcii F(X). Napríklad 1 / (1-x) je analytický na (-1,1), pretože jeho Taylorova expanzia 1 + x + x²+... + xⁿ+... konverguje k funkcii v tomto intervale a e^X  je analytická všade, pretože Taylorova séria e^Xkonverguje k e^X pre každé skutočné číslo X.

Aký je rozdiel medzi radmi Power a Taylor?

1. Taylorova séria je špeciálna trieda energetických radov definovaných iba pre funkcie, ktoré sú nekonečne diferencovateľné v určitom otvorenom intervale.

2. Taylorova séria má osobitnú formu

        

keďže energetická séria môže byť ľubovoľná séria tvaru