Rozdiel medzi určitými a neurčitými integrálmi
Share
Kalkul je dôležitým odvetvím matematiky a diferenciácia zohráva v kalkulu rozhodujúcu úlohu. Inverzný proces diferenciácie je známy ako integrácia a inverzia je známa ako integrál alebo jednoducho povedané, inverzia diferenciácie dáva integrál. Na základe výsledkov, ktoré vytvárajú, sa integrály delia na dve triedy, konkrétne, definitívne a neurčité integrály.
Jednoznačné integrálne
Definitívny integrál f (x) je NUMBER a predstavuje plochu pod krivkou f (x) z x = a na x = b.
Definitívny integrál má hornú a dolnú hranicu integrálov a nazýva sa definitívny, pretože na konci problému máme číslo - je to definitívna odpoveď.
Neurčitá integrál
Neurčitý integrál f (x) je FUNKCIA a odpovedá na otázku „Aká funkcia pri diferenciácii dáva f (x)?"
Pri neurčitom integráli tu nie sú žiadne horné a dolné limity integrálu a my dostaneme odpoveď, ktorá stále existuje Xje v ňom a bude mať aj konštantu (zvyčajne označenú ako C).
Neurčitý integrál obvykle dáva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Neurčitý integrál je skôr všeobecnou formou integrácie a dá sa interpretovať ako anti-derivát uvažovanej funkcie..
Predpokladajme diferenciáciu funkcie F vedie k inej funkcii F, a integrácia f dáva integrál. Symbolicky sa to píše ako
F (x) = ∫ƒ (x) dx
alebo
F = ∫ƒ dx
kde oboje F a ƒ sú funkcie X, a F je diferencovateľný. Vo vyššie uvedenej podobe sa nazýva Reimannov integrál a výsledná funkcia sprevádza ľubovoľnú konštantu.
Neurčitý integrál často vytvára rodinu funkcií; integrál je preto neurčitý.
Integrály a integračný proces sú jadrom riešenia diferenciálnych rovníc. Na rozdiel od krokov pri diferenciácii však kroky pri integrácii nie vždy nasledujú jasné a štandardné postupy. Občas vidíme, že riešenie nie je možné výslovne vyjadriť z hľadiska elementárnej funkcie. V takom prípade sa analytické riešenie často podáva vo forme neurčitého integrálu.
Základná veta počtu
Definitívny a neurčitý integrál spája Základná veta počtu: konečný integrál, nájsť neurčitý integrál (známe tiež ako anti-derivát) funkcie a hodnotiť v koncových bodoch x = a a x = b.
Rozdiel medzi určitými a neurčitými integrálmi bude zrejmý, keď vyhodnotíme integrály pre rovnakú funkciu.
Zvážte nasledujúci integrál:
OK. Urobme obidva a uvidíme rozdiel.
Pre integráciu musíme do indexu pridať jeden, ktorý nás vedie k nasledujúcemu výrazu:
V tomto okamihu C je pre nás iba konštanta. V prípade problému sú potrebné ďalšie informácie na určenie presnej hodnoty C.
Vyhodnotíme rovnaký integrál v jeho určitej podobe, t. J. S hornou a dolnou hranicou.
Graficky povedané, teraz počítame oblasť pod krivkou f (x) = y3 medzi y = 2 a y = 3.
Prvý krok v tomto hodnotení je rovnaký ako neurčité integrálne hodnotenie. Jediným rozdielom je, že tentoraz nepridávame konštantu C.
Výraz v tomto prípade vyzerá takto:
To vedie k:
V podstate sme vo výraze nahradili 3 a potom 2 a získali sme rozdiel medzi nimi.
Toto je definitívna hodnota na rozdiel od použitia konštanty C skôr.
Pozrime sa podrobnejšie na konštantný faktor (s ohľadom na neurčitý integrál).
Ak je rozdiel y3 je 3y2, potom
∫3y2dy = y3
však, 3y2 môže byť rozdielom mnohých výrazov, medzi ktoré patrí y3-5, y3+7, atď. To znamená, že zrušenie nie je jedinečné, pretože konštanta sa počas operácie nezohľadňuje.
Takže všeobecne, 3y2 je rozdiel y3+C kde C je akákoľvek konštanta. Mimochodom, C je známy ako „konštanta integrácie“.
Píšeme to ako:
∫ 3y2.dx = y3 + C
Integračné techniky pre neurčitý integrál, ako napríklad vyhľadávanie tabuľky alebo Rischova integrácia, môžu počas procesu integrácie pridať nové diskontinuity. Tieto nové diskontinuity sa objavujú, pretože anti-deriváty môžu vyžadovať zavedenie komplexných logaritmov.
Komplexné logaritmy majú skokovú diskontinuitu, keď argument prechádza zápornou skutočnou osou, a integračné algoritmy niekedy nemôžu nájsť reprezentáciu, kde tieto skoky zrušia.
Ak je určitý integrál vyhodnotený najprv výpočtom neurčitého integrálu a následným nahradením integračných hraníc do výsledku, musíme si uvedomiť, že neurčitá integrácia môže spôsobiť diskontinuity. Ak sa tak stane, musíme preskúmať aj diskontinuity v integračnom intervale.
