Rozdiel medzi kardinálnymi číslami a poradovými číslami

Kardinál vs ordinál 
 

V našom každodennom živote môže mať použitie čísel rôzne formy v rôznych situáciách. Ak napríklad spočítame veľkosť kolekcie objektov, spočítame ich ako jeden, dva, tri atď. Ak chceme niečo spočítať, aby sme zistili polohu objektov, spočítame ich ako prvé, druhé, tretie a tak ďalej. V prvej forme počítania sa čísla označujú ako kardinálne čísla. V druhej forme počítania sa čísla považujú za poradové čísla. V tejto súvislosti sú kardinálne a ordinálne pojmy úplne záležitosťou lingvistiky; kardinál a ordinál sú prídavné mená.

Rozšírenie tohto pojmu na množiny v matematike však odhaľuje oveľa hlbšiu a širšiu perspektívu a nemožno s nimi jednoducho hovoriť. V tomto článku sa pokúsime porozumieť základným pojmom kardinálnych a ordinálnych čísel v matematike.

Formálne definície kardinálnych a poradových čísel sú uvedené v teórii množín. Definície sú zložité a na ich pochopenie v dokonalom zmysle sú potrebné základné vedomosti z teórie množín. Z tohto dôvodu sa obrátime k niekoľkým príkladom, aby sme heuristicky porozumeli týmto pojmom.

Zoberme si dve sady 1,3,6,4,5,2 a autobus, auto, trajekt, vlak, lietadlo, vrtuľník. Každá množina obsahuje množinu prvkov a ak spočítame počet prvkov, je zrejmé, že každý z nich má rovnaký počet prvkov, čo je 6. Keď dospejeme k tomuto záveru, vezmeme veľkosť jednej sady a porovnáme ju s druhou pomocou číslo. Takéto číslo sa nazýva kardinálne číslo. Preto môžeme povedať, že kardinálne číslo je číslo, ktoré môžeme použiť na porovnanie veľkosti konečných množín.

Prvý súbor čísel môže byť opäť usporiadaný vzostupne s ohľadom na veľkosť každého prvku a ich porovnanie. V procese objednávania sa čísla považujú za kardinálov. Podobne množinu všetkých nezáporných celých čísel je možné usporiadať do množiny; t.j. 0,1,2,3,4, .... V tomto prípade sa však veľkosť súboru stane nekonečnou a nie je možné dať ho ako poradové číslo. Bez ohľadu na to, aké veľké číslo vyberiete, aby ste dostali veľkosť množiny, stále zostanú čísla, ktoré vyberiete a ktoré sú nezáporné celé čísla.

Preto matematici definujú tohto nekonečného kardinála (ktorý je prvým) ako Aleph-0, napísaný ako א (prvé písmeno v hebrejskej abecede). Formálne poradové číslo je typ objednávky dobre usporiadanej množiny. Preto poradové číslo konečných množín môže byť dané kardinálnymi číslami, ale pre nekonečné množiny je poradové číslo dané transfinitovými číslami, ako je napríklad Aleph-0..

Aký je rozdiel medzi kardinálnymi a poradovými číslami??

• Kardinálne číslo je číslo, ktoré sa môže použiť na spočítanie alebo na určenie veľkosti konečne usporiadaného súboru. Všetky kardinálne čísla sú poradové čísla.

• Poradové čísla sú čísla používané na určenie veľkosti konečných aj nekonečných usporiadaných množín. Veľkosť konečných usporiadaných množín je daná obvyklými hindusko-arabskými algebraickými číslicami a nekonečná veľkosť množiny je daná transfinitovými číslami..