Rozdiel medzi derivátom a diferenciálom

Derivát verzus diferenciál
 

V diferenciálnom počte sú derivácia a diferenciálna funkcia úzko prepojené, ale majú veľmi odlišné významy a používajú sa na reprezentáciu dvoch dôležitých matematických objektov týkajúcich sa diferencovateľných funkcií..

Čo je derivát?

Derivát funkcie meria mieru, pri ktorej sa hodnota funkcie mení so vstupom. V prípade funkcií s viacerými premennými závisí zmena funkčnej hodnoty od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto je v takýchto prípadoch zvolený špecifický smer a funkcia je v tomto konkrétnom smere diferencovaná. Tento derivát sa nazýva smerový derivát. Čiastočné deriváty sú špeciálnym druhom smerových derivátov.

Derivácia funkcie s vektorovou hodnotou F možno definovať ako limit kdekoľvek to existuje konečne. Ako už bolo spomenuté vyššie, toto nám dáva mieru zvýšenia funkcie F v smere vektora u. V prípade funkcie s jednou hodnotou sa toto obmedzuje na dobre známu definíciu derivátu,  

Napríklad, je všade diferencovateľná a derivát sa rovná limitu, , čo sa rovná . Deriváty funkcií, ako sú   existujú všade. Sú rovnaké ako funkcie .                                                                                

Toto je známe ako prvý derivát. Zvyčajne prvý derivát funkcie F je označený F ⁽¹⁾. Teraz pomocou tejto notácie je možné definovať deriváty vyššieho poriadku. je smerový derivát druhého poriadku a označuje n^th derivát podľa F ⁽ⁿ⁾ pre každý n, ,  definuje n^th derivát.

Aký je rozdiel?

Diferenciál funkcie predstavuje zmenu funkcie vzhľadom na zmeny v nezávislej premennej alebo premenných. V obvyklom zápise, pre danú funkciu F jednej premennej X, celkový rozdiel rádu 1 df je daná, . To znamená, že pre nekonečnú zmenu v X(t. jX), bude existovať  F ⁽¹⁾(X) dX zmena v F.

Použitím obmedzení môžeme skončiť s touto definíciou nasledovne. Predpokladajme, že ∆X je zmena v X v ľubovoľnom bode X a ∆F je zodpovedajúca zmena funkcie F. Je možné preukázať, že ∆f = f ⁽¹⁾(X) ΔX+ ε, kde ϵ je chyba. Teraz je limit ∆x →0^ΔF/_ΔX= F ⁽¹⁾(X) (pomocou vyššie uvedenej definície derivátu), a teda ∆x →0^ε/_ΔX= 0. Preto je možné dospieť k záveru, že ∆x →0ε = 0. Teraz označujúce ∆x →0 ∆F ako dF a ∆x →0 ∆X ako dX presne sa získa definícia diferenciálu. 

Napríklad rozdiel funkcie je .

V prípade funkcií dvoch alebo viacerých premenných je celkový rozdiel funkcie definovaný ako súčet diferenciálov v smeroch každej z nezávislých premenných. Matematicky sa dá uviesť ako .