Rozdiel medzi derivátom a integrálom

Derivát verzus integrál

Diferenciácia a integrácia sú dve základné operácie programu Calculus. Majú mnoho aplikácií v niekoľkých oblastiach, ako je matematika, strojárstvo a fyzika. Derivácia aj integrál diskutujú o správaní funkcie alebo správaní fyzickej entity, o ktorú sa zaujímame.

Čo je derivát?

Predpokladajme, že y = ƒ (x) a x₀ je v doméne ƒ. Potom lim_{Ax → ∞}Δy / xx = lim_{Δx → ∞}[F (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx sa nazýva okamžitá rýchlosť zmeny ƒ pri x₀, za predpokladu, že tento limit existuje konečne. Tento limit sa nazýva aj derivát at a označuje sa ƒ (x).

Hodnota derivácie funkcie F v ľubovoľnom bode X v oblasti funkcie je daná lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Ax) - ƒ (x)] / Ax. Toto sa označuje ktorýmkoľvek z nasledujúcich výrazov: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_Xy.

Pre funkcie s viacerými premennými definujeme čiastkovú deriváciu. Čiastočný derivát funkcie s niekoľkými premennými je jej derivát vzhľadom na jednu z týchto premenných, za predpokladu, že ostatné premenné sú konštanty. Symbol čiastočného derivátu je ∂.

Geometricky možno derivát funkcie interpretovať ako sklon krivky funkcie ƒ (x).

Čo je integrálne?

Integrácia alebo nediferenciácia sú opačným procesom diferenciácie. Inými slovami je to proces nájdenia pôvodnej funkcie, keď je daná derivácia funkcie. Preto integrál alebo anti-derivát funkcie ƒ (x), ak ƒ (x) =F(x) možno definovať ako funkciu F(x), pre všetky x v doméne ƒ (x).

Výraz ∫ƒ (x) dx označuje derivát funkcie ƒ (x). Ak ƒ (x) =F(x), potom ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, kde C je konštanta, ∫ƒ (x) dx sa nazýva neurčitý integrál ƒ (x).

Pre každú funkciu ƒ, ktorá nemusí byť nevyhnutne nezáporná a je definovaná v intervale [a, b], ∫^bƒ (x) dx sa nazýva definitívny integrál ƒ na [a, b].

Definitívny integrál ∫^bƒ (x) dx funkcie ƒ (x) možno geometricky interpretovať ako oblasť oblasti ohraničenej krivkou ƒ (x), osou x a čiarami x = a a x = b.