Rozdiel medzi diferenciáciou a derivátom

Diferenciácia vs. derivát
 

V diferenciálnom počte sú derivácie a diferenciácie úzko spojené, ale veľmi odlišné a používajú sa na reprezentáciu dvoch dôležitých matematických konceptov týkajúcich sa funkcií..

Čo je derivát?

Derivát funkcie meria mieru, pri ktorej sa hodnota funkcie mení so vstupom. V prípade funkcií s viacerými premennými závisí zmena funkčnej hodnoty od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto je v takýchto prípadoch zvolený špecifický smer a funkcia je v tomto konkrétnom smere diferencovaná. Tento derivát sa nazýva smerový derivát. Čiastočné deriváty sú špeciálnym druhom smerových derivátov.

Derivácia funkcie s vektorovou hodnotou F možno definovať ako limit kdekoľvek to existuje konečne. Ako už bolo spomenuté vyššie, toto nám dáva mieru zvýšenia funkcie F v smere vektora u. V prípade funkcie s jednou hodnotou sa toto obmedzuje na dobre známu definíciu derivátu,  

Napríklad, je všade diferencovateľná a derivát sa rovná limitu, , čo sa rovná . Deriváty funkcií, ako sú   existujú všade. Sú rovnaké ako funkcie .                                                                                

Toto je známe ako prvý derivát. Zvyčajne prvý derivát funkcie F je označený F ⁽¹⁾. Teraz pomocou tejto notácie je možné definovať deriváty vyššieho poriadku. je smerový derivát druhého poriadku a označuje n^th derivát podľa F ⁽ⁿ⁾ pre každý n, ,  definuje n^th derivát.

Čo je diferenciácia?

Diferenciácia je proces nájdenia derivátu diferencovateľnej funkcie. Operátor D označený D predstavuje diferenciáciu v niektorých kontextoch. ak X je nezávislá premenná D ≡ ^d/_dx. D-operátor je lineárny operátor, t. J. Pre akékoľvek dve diferencovateľné funkcie F a g a konštantná C, Nasledujúce vlastnosti držia.

ja.  D(F + g) = D(F) + D (g)

II.  D(cf) = cD(F )

Pomocou D-operátora možno ďalšie pravidlá spojené s diferenciáciou vyjadriť takto. D(F g) = D(F ) g +f D(G) , D(^F/_g) = ^{[D(F ) g - f D(G)]}/_g² a D(F  o g) = (D(F) o g) D (g).

Napríklad, keď F (X) = X²hriech X je diferencovaný vzhľadom na X na základe uvedených pravidiel bude odpoveď 2Xhriech X -+ X²cosX.