Rozdiel medzi integráciou a sumáciou

Integrácia vs zhrnutie
 

Vo vyššie uvedenej stredoškolskej matematike sa integrácia a sumácia často vyskytujú v matematických operáciách. Zdanlivo sa používajú ako rôzne nástroje a v rôznych situáciách, ale zdieľajú veľmi úzky vzťah.

Viac informácií o sumácii

Sčítanie je operácia spočítavania postupnosti čísel a táto operácia sa často označuje gréckym písmenom sigma Σ. Používa sa na skrátenie súčtu a rovná súčtu / súčtu sekvencie. Často sa používajú na reprezentáciu série, ktorá je v podstate zhrnutím nekonečných sekvencií. Môžu sa tiež použiť na označenie súčtu vektorov, matríc alebo polynómov.

Sumácia sa zvyčajne robí pre rozsah hodnôt, ktoré môžu byť reprezentované všeobecným pojmom, ako je napríklad séria, ktorá má spoločný pojem. Počiatočný bod a konečný bod súčtu sú známe ako dolná hranica a horná hranica súčtu.

Napríklad súčet postupnosti a₁, ₂, ₃, ₄, …, A_n je a₁ + ₂ + ₃ +… + A_n ktoré možno ľahko vyjadriť pomocou súčtového zápisu ako ∑ⁿ_{i = 1 ja}; nazýva sa index sumácie.

Na zhrnutie na základe aplikácie sa používa veľa variantov. V niektorých prípadoch možno hornú a dolnú hranicu uviesť ako interval alebo rozsah, napríklad such_{1≤i≤100 ja} a ∑_{i∈ [1100] ja}. Alebo to možno uviesť ako množinu čísel, ako je ∑_{i∈P ja} , kde P je definovaná množina.

V niektorých prípadoch sa môžu použiť dva alebo viac sigma znakov, môžu sa však generalizovať nasledujúcim spôsobom; Σ_j Σ_k jk = ∑_{j, k jk}.

Sumácia sa tiež riadi mnohými algebraickými pravidlami. Pretože vložená operácia je sčítanie, mnohé spoločné pravidlá algebry sa môžu vzťahovať na samotné sumy a na jednotlivé pojmy zobrazené sumáciou..

Viac informácií o integrácii

Integrácia je definovaná ako reverzný proces diferenciácie. Ale vo svojom geometrickom pohľade ho možno považovať aj za oblasť ohraničenú krivkou funkcie a osi. Preto výpočet oblasti udáva hodnotu určitého integrálu, ako je znázornené na obrázku.

Zdroj obrázka: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Hodnota určitého integrálu je v skutočnosti súčtom malých prúžkov vo vnútri krivky a osi. Plocha každého pásu je výška × šírka v bode uvažovanej osi. Šírka je hodnota, ktorú si môžeme zvoliť, povedzme ∆x. A výška je približne hodnota funkcie v uvažovanom bode, povedzme F(X_ja). Z diagramu je zrejmé, že čím menšie sú prúžky, tým lepšie sa prúžky hodia do ohraničenej oblasti, a teda lepšie priblíženie hodnoty..

Takže vo všeobecnosti definitívny integrál ja, medzi bodmi a a b (t. j. v intervale [a, b], kde aja ≅ F(X₁) Ax + F(X₂) ∆x + ⋯ + F(X_n) ∆x, kde n je počet prúžkov (n = (b-a) / ∆x). Toto zhrnutie oblasti sa dá ľahko vyjadriť pomocou notácie súčtu ako ja ≅ ∑ⁿ_{i = 1} F(X_ja) Ax. Pretože aproximácia je lepšia, keď je ∆x menšia, môžeme vypočítať hodnotu, keď ∆x → 0. Preto je rozumné povedať ja = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} F(X_ja) Ax.

Ako zovšeobecnenie z vyššie uvedeného konceptu si môžeme zvoliť ∆x na základe uvažovaného intervalu indexovaného i (výber šírky oblasti na základe polohy). Potom sa dostaneme

ja= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} F(X_ja) ∆x_ja = ∫^b F(X) dx

Toto je známe ako Reimannov integrál funkcie F(x) v intervale [a, b]. V tomto prípade aab sú známe ako horná a dolná hranica integrálu. Integrál Reimanna je základnou formou všetkých integračných metód.

Integrácia je v podstate sumarizáciou oblasti, keď je šírka obdĺžnika nekonečná.

Aký je rozdiel medzi integráciou a zhrnutím?

• Sumácia spočíta postupnosť čísiel. Sumácia sa zvyčajne uvádza v tejto podobe ∑ⁿ_{i = 1 ja} keď výrazy v sekvencii majú vzor a dajú sa vyjadriť pomocou všeobecného termínu.

• Integrácia je v podstate oblasť ohraničená krivkou funkcie, osou a hornou a dolnou hranicou. Túto oblasť možno uviesť ako súčet oveľa menších oblastí zahrnutých do ohraničenej oblasti.

• Sumácia zahŕňa diskrétne hodnoty s hornou a dolnou hranicou, zatiaľ čo integrácia zahŕňa spojité hodnoty.

• Integráciu možno interpretovať ako osobitnú formu sumácie.

• Pri numerických výpočtových metódach sa integrácia vždy vykonáva ako súčet.