Rozdiel medzi Laplaceovou a Fourierovou transformáciou

Laplace vs Fourierove transformácie
 

Laplaceova transformácia aj Fourierova transformácia sú integrálnymi transformáciami, ktoré sa najčastejšie používajú ako matematické metódy na riešenie matematicky modelovaných fyzikálnych systémov. Tento proces je jednoduchý. Zložitý matematický model sa prevedie na jednoduchší, riešiteľný model pomocou integrálnej transformácie. Po vyriešení jednoduchšieho modelu sa použije inverzná integrálna transformácia, ktorá by poskytla riešenie pôvodnému modelu.

Napríklad, keďže väčšina fyzikálnych systémov vedie k diferenciálnym rovniciam, možno ich pomocou integrálnej transformácie previesť na algebraické rovnice alebo na ľahko riešiteľné diferenciálne rovnice s nižším stupňom. Riešenie problému bude potom jednoduchšie.

Čo je Laplaceova transformácia?

Vzhľadom na funkciu F (T) reálnej premennej T, jeho Laplaceova transformácia je definovaná integrálom (vždy, keď existuje), ktorá je funkciou komplexnej premennej s. Zvyčajne sa označuje značkou L F (T). Inverzná Laplaceova transformácia funkcie F(s) sa považuje za funkciu F (T) takým spôsobom, že L F (T) = F(s) a v obvyklom matematickom zápise píšeme, L ^-1F(s) = F (T).Ak nie sú povolené nulové funkcie, inverzná transformácia môže byť jedinečná. Dá sa tieto dva identifikovať ako lineárne operátory definované vo funkčnom priestore a je tiež ľahké to vidieť, L ^-1L F (T) = F (T), ak nie sú povolené nulové funkcie.

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené Laplaceove transformácie niektorých najbežnejších funkcií.

Čo je Fourierova transformácia?

Vzhľadom na funkciu F (T) reálnej premennej T, jeho Laplaceova transformácia je definovaná integrálom (vždy, keď existuje) a zvyčajne sa označí F F (T). Inverzná transformácia F ^-1F(α) je dané integrálom . Fourierova transformácia je tiež lineárna a možno ju považovať za operátora definovaného vo funkčnom priestore.

Použitím Fourierovej transformácie možno pôvodnú funkciu napísať nasledovne za predpokladu, že táto funkcia má iba konečný počet diskontinuít a je absolútne integrovateľná.

Aký je rozdiel medzi Laplace a Fourierovou transformáciou?

• Fourierova transformácia funkcie F (T) je definované ako , zatiaľ čo jej transformácia na mieste je definovaná ako .
• Fourierova transformácia je definovaná iba pre funkcie definované pre všetky reálne čísla, zatiaľ čo Laplaceova transformácia nevyžaduje, aby bola funkcia definovaná na množine záporných reálnych čísel..
• Fourierova transformácia je zvláštnym prípadom Laplaceovej transformácie. Je vidieť, že obe sa zhodujú pre nezáporné reálne čísla. (t. j s v Laplace byť iα + β kde α a β sú také skutočné, že e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Každá funkcia, ktorá má Fourierovu transformáciu, bude mať Laplaceovu transformáciu, ale nie naopak.