Rozdiel medzi lineárnou a nelineárnou rovnicou

Lineárna rovnica verzus nelineárna rovnica

V matematike sú algebraické rovnice rovnice, ktoré sú tvorené pomocou polynómov. Keď sú explicitne napísané, rovnice budú mať tvar P (X) = 0, kde X je vektorom neznámych premenných a P je polynóm. Napríklad P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 je algebraická rovnica v dvoch explicitne napísaných premenných. (X + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ je algebraická rovnica, ale v implicitnej forme a bude mať tvar Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, raz výslovne napísané.

Dôležitou charakteristikou algebraickej rovnice je jej stupeň. Je definovaná ako najvyššia sila výrazov vyskytujúcich sa v rovnici. Ak výraz pozostáva z dvoch alebo viacerých premenných, za mocninu sa bude považovať súčet exponentov každej premennej. Všimnite si, že podľa tejto definície je P (x, y) = 0 stupňa 5, zatiaľ čo Q (x, y, z) = 0 je stupňa 5.

Lineárne a nelineárne rovnice sú dva oddiely definované na množine algebraických rovníc. Stupeň rovnice je faktor, ktorý ich od seba odlišuje.

Čo je to lineárna rovnica?

Lineárna rovnica je algebraická rovnica stupňa 1. Napríklad 4x + 5 = 0 je lineárna rovnica jednej premennej. x + y + 5z = 0 a 4x = 3w + 5y + 7z sú lineárne rovnice 3 a 4 premenných. Lineárna rovnica n premenných bude mať všeobecne tvar m₁X₁ + m₂X₂ +… + M_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Tu x_jasú neznáme premenné, m_ja'a ab sú skutočné čísla, kde každé z m_ja je nenulová.

Takáto rovnica predstavuje hyper rovinu v n-dimenzionálnom euklidovskom priestore. Obzvlášť dve variabilné lineárne rovnice predstavujú priamku v karteziánskej rovine a tri variabilné lineárne rovnice predstavujú rovinu na euklidovskej 3-priestore.

Čo je nelineárna rovnica?

Kvadratická rovnica je algebraická rovnica, ktorá nie je lineárna. Inými slovami, nelineárna rovnica je algebraická rovnica stupňa 2 alebo vyššia. X² + 3x + 2 = 0 je jednoduchá premenná nelineárna rovnica. X² + y³+ 3xy = 4 a 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 sú príklady nelineárnych rovníc 3 a 4 premenných.

Nelineárna rovnica druhého stupňa sa nazýva kvadratická rovnica. Ak je stupeň 3, nazýva sa to kubická rovnica. Rovnice stupňa 4 a 5 sa nazývajú kvartické a kvintické rovnice. Bolo dokázané, že neexistuje analytická metóda na riešenie nelineárnej rovnice stupňa 5, a to platí aj pre akýkoľvek vyšší stupeň. Vyriešiteľné nelineárne rovnice predstavujú hyper povrchy, ktoré nie sú hyperplánmi.