Rozdiel medzi vzájomne sa vylučujúcimi a nezávislými udalosťami

Vzájomne exkluzívne vs nezávislé udalosti

Ľudia často zamieňajú koncept vzájomne sa vylučujúcich udalostí s nezávislými udalosťami. V skutočnosti sú to dve rôzne veci.

Nech A a B sú akékoľvek dve udalosti spojené s náhodným experimentom E. P (A) sa nazýva „Pravdepodobnosť A“. Podobne môžeme definovať pravdepodobnosť B ako P (B), pravdepodobnosť A alebo B ako P (A∪B) a pravdepodobnosť A a B ako P (A∩B). Potom P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Dve udalosti sa však považujú za vzájomne sa vylučujúce, ak výskyt jednej udalosti neovplyvní druhú. Inými slovami, nemôžu sa vyskytovať súčasne. Preto, ak sa dve udalosti A a B vzájomne vylučujú, potom A∩B = ∅ a teda, znamená to P (A∪B) = P (A) + P (B).

Nech A a B sú dve udalosti vo vzorkovacom priestore S. Podmienená pravdepodobnosť A, vzhľadom na to, že sa vyskytla B, je označená P (A | B) a je definovaná ako; P (A | B) = P (A = B) / P (B), za predpokladu, že P (B)> 0. (inak nie je definovaná.)

Udalosť A sa považuje za nezávislú od udalosti B, ak pravdepodobnosť, že A nastane, nie je ovplyvnená tým, či nastala alebo nie. Inými slovami, výsledok udalosti B nemá žiadny vplyv na výsledok udalosti A. Preto P (A | B) = P (A). Podobne je B nezávislý od A, ak P (B) = P (B | A). Preto môžeme konštatovať, že ak A a B sú nezávislé udalosti, potom P (A∩B) = P (A) .P (B)

Predpokladajme, že očíslovaná kocka je zvinutá a spravodlivá minca je prevrátená. Nech A je udalosť, ktorá získa hlavu a B je udalosť, ktorá valí párne číslo. Potom môžeme dospieť k záveru, že udalosti A a B sú nezávislé, pretože tento výsledok jedného nemá vplyv na výsledok druhého. Preto P (A = B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Pretože P (A∩B) ≠ 0, A a B sa nemôžu vzájomne vylučovať.

Predpokladajme, že urna obsahuje 7 bielych guličiek a 8 čiernych guličiek. Definujte udalosť A ako kreslenie bieleho mramoru a udalosť B ako kreslenie čierneho mramoru. Za predpokladu, že každý mramor bude nahradený po zaznamenaní jeho farby, potom P (A) a P (B) budú vždy rovnaké, bez ohľadu na to, koľkokrát čerpáme z urny. Výmena guličiek znamená, že pravdepodobnosť sa nemení z remízy na remízu, bez ohľadu na to, akú farbu sme vybrali pri poslednom losovaní. Preto sú udalosti A a B nezávislé.

Ak sa však guľky nakreslili bez náhrady, všetko sa zmení. Za tohto predpokladu nie sú udalosti A a B nezávislé. Kreslenie bieleho mramoru prvýkrát mení pravdepodobnosť nákresu čierneho mramoru pri druhom ťahu a tak ďalej. Inými slovami, každé losovanie má vplyv na ďalšie losovanie, takže jednotlivé losovania nie sú nezávislé.