Rozdiel medzi náhodnými premennými a rozdelením pravdepodobnosti

Náhodné premenné vs rozdelenie pravdepodobnosti

Štatistické experimenty sú náhodné experimenty, ktoré sa môžu opakovať neurčito so známym súborom výsledkov. S takýmito experimentmi sú spojené náhodné premenné aj pravdepodobnostné rozdelenia. Pre každú náhodnú premennú existuje pridružené rozdelenie pravdepodobnosti definované funkciou nazývanou funkcia kumulatívneho rozdelenia.

Čo je náhodná premenná?

Náhodná premenná je funkcia, ktorá priraďuje číselné hodnoty k výsledkom štatistického experimentu. Inými slovami, je to funkcia definovaná zo vzorkovacieho priestoru štatistického experimentu do súboru reálnych čísel.

Napríklad, zvážte náhodný experiment vyhodenia mincí dvakrát. Možné výsledky sú HH, HT, TH a TT (H - hlavy, T - príbehy). Nech premenná X je počet hláv pozorovaných v experimente. Potom X môže mať hodnoty 0, 1 alebo 2 a je to náhodná premenná. Náhodná premenná X tu namapuje množinu S = HH, HT, TH, TT (vzorkový priestor) na množinu 0, 1, 2 takým spôsobom, že HH sa mapuje na 2, HT a TH. sú mapované na 1 a TT je mapované na 0. Vo funkčnom zápise to možno písať ako: X: S → R, kde X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 a X ( TT) = 0.

Existujú dva typy náhodných premenných: diskrétne a spojité, podľa toho je počet možných hodnôt, ktoré môže náhodná premenná predpokladať, nanajvýš spočítateľný alebo nie. V predchádzajúcom príklade je náhodná premenná X diskrétna náhodná premenná, pretože 0, 1, 2 je konečná množina. Teraz zvážte štatistický experiment zisťovania hmotností študentov v triede. Nech Y je náhodná premenná definovaná ako hmotnosť študenta. Y môže mať akúkoľvek skutočnú hodnotu v konkrétnom intervale. Y je teda spojitá náhodná premenná.

Čo je rozdelenie pravdepodobnosti?

Distribúcia pravdepodobnosti je funkcia, ktorá popisuje pravdepodobnosť náhodnej premennej s určitými hodnotami.

Funkciu nazývanú kumulatívna distribučná funkcia (F) je možné definovať od množiny reálnych čísel do množiny reálnych čísel ako F (x) = P (X ≤ x) (pravdepodobnosť, že X bude menšia alebo rovná x) pre každý možný výsledok x. Teraz je možné funkciu kumulatívneho rozdelenia X v prvom príklade zapísať ako F (a) = 0, ak a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

V prípade diskrétnych náhodných premenných môže byť funkcia definovaná od množiny možných výstupov do množiny reálnych čísel takým spôsobom, že ƒ (x) = P (X = x) (pravdepodobnosť X je rovná x) pre každý možný výsledok x. Táto konkrétna funkcia ƒ sa nazýva pravdepodobnostná hmotnostná funkcia náhodnej premennej X. Teraz je pravdepodobnostnú hmotnostnú funkciu X v prvom konkrétnom príklade možné písať ako ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2). = 0,25 a ƒ (x) = 0 inak. Funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti spolu s funkciou kumulatívneho rozdelenia teda opíšu rozdelenie pravdepodobnosti X v prvom príklade.

V prípade spojitých náhodných premenných možno funkciu nazývanú funkcia hustoty pravdepodobnosti (ƒ) definovať ako ƒ (x) = dF (x) / dx pre každé x, kde F je kumulatívna distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej. Je ľahké vidieť, že táto funkcia spĺňa ∫ƒ (x) dx = 1. Funkcia hustoty pravdepodobnosti spolu s funkciou kumulatívneho rozdelenia popisuje rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Napríklad normálne rozdelenie (čo je kontinuálne rozdelenie pravdepodobnosti) je opísané pomocou funkcie hustoty pravdepodobnosti ƒ (x) = 1 / √ (2πσ)²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).