Rozdiel medzi Riemann Integral a Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrácia je hlavnou témou počtu. V broderskom zmysle možno integráciu považovať za obrátený proces diferenciácie. Pri modelovaní problémov v reálnom svete je ľahké písať výrazy týkajúce sa derivátov. V takejto situácii je integračná operácia potrebná na nájdenie funkcie, ktorá poskytla konkrétny derivát.

Z iného uhla je integrácia proces, ktorý sumarizuje súčin funkcie ƒ (x) a δx, kde δx má sklon byť určitým limitom. Z tohto dôvodu používame integračný symbol ako ∫. Symbol ∫ je v skutočnosti to, čo získame natiahnutím písmen s, aby odkazovali na súčet.

Riemann Integral

Zvážte funkciu y = ƒ (x). Integrál y medzi a b, kde a b patria do súpravy x, je zapísaná ako _b∫ƒ (x) dx = [F(X)]_→b = F(b) - F(). Toto sa nazýva definitívny integrál jednorazovej a spojitej funkcie y = ƒ (x) medzi a a b. Takto sa získa plocha pod krivkou medzi a b. Toto sa tiež nazýva Riemannov integrál. Integritu Riemanna vytvoril Bernhard Riemann. Riemannov integrál spojitej funkcie je založený na jordánskom meradle, preto je tiež definovaný ako limit Riemannových súčtov funkcie. Pre funkciu s reálnou hodnotou, ktorá je definovaná v uzavretom intervale, Riemannov integrál funkcie vzhľadom na oddiel x₁, X₂,… , X_n definované v intervale [a, b] at₁, T₂,…, T_n, kde x_ja ≤ t_ja ≤ x_{i + 1} pre každé i ε 1, 2,…, n je Riemannova suma definovaná ako Σ_{i = o až n-1} ƒ (t_ja)(X_{i + 1} - X_ja).

Lebesgue Integral

Lebesgue je iný typ integrálu, ktorý pokrýva celý rad prípadov ako Riemann integrál. Lebesgueov integrál predstavil Henri Lebesgue v roku 1902. Legesigovú integráciu možno považovať za zovšeobecnenie Riemannovej integrácie.

Prečo potrebujeme študovať iného integrálu?

Zoberme si charakteristickú funkciu ƒ_{A (x) = 0 ak x nie ε A}^{1, ak x ε A} na množine A. Potom konečná lineárna kombinácia charakteristických funkcií, ktorá je definovaná ako F(x) = Σ a_jaƒE_jax) sa nazýva jednoduchá funkcia, ak: E_ja je merateľný pre každý i. Lebesgueov integrál F(x) viac E je označený _E∫ ƒ (x) dx. Funkcia F(x) nie je integrovateľný Riemann. Lebesgueov integrál je preto Riemannov integrál, ktorý má určité obmedzenia funkcií, ktoré sa majú integrovať.