Rozdiel medzi aritmetickými a geometrickými radmi

Aritmetické verzus geometrické série
 

Matematická definícia série úzko súvisí so sekvenciami. Sekvencia je usporiadaná množina čísel a môže to byť buď konečná alebo nekonečná množina. Sekvencia čísel s rozdielom medzi dvoma prvkami, ktoré sú konštantou, sa označuje ako aritmetická postupnosť. Sekvencia s konštantným kvocientom dvoch po sebe idúcich čísel je známa ako geometrická postupnosť. Tieto progresie môžu byť buď konečné alebo nekonečné, a ak sú konečné, počet výrazov je spočítateľný, inak sa nedá spočítať.

Všeobecne možno zhrnúť prvky v progresii ako sériu. Súčet aritmetickej progresie je známy ako aritmetický rad. Podobne je súčet geometrickej postupnosti známy ako geometrická séria.

Viac informácií o aritmetických sériách

V aritmetickej sérii majú nasledujúce výrazy konštantný rozdiel.

S_n = a₁ + ₂ + ₃ + ₄ +⋯ + a_n = ∑ⁿ_{i = 1 ja} ; kde₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, atď.

Tento rozdiel d je známy ako spoločný rozdiel a n^th termín je daný a_n = a₁+ (N-1) d; kde₁ je prvý termín.

Správanie série sa mení na základe spoločného rozdielu d. Ak je spoločný rozdiel pozitívny, má progresia tendenciu byť pozitívnym nekonečnom a ak je spoločný rozdiel záporný, inklinuje k negatívnemu nekonečnu.

Súčet sérií je možné získať podľa nasledujúceho jednoduchého vzorca, ktorý prvýkrát vyvinul indický astronóm a matematik Aryabhata.

S_n = n / 2 (a₁+ _n ) = n / 2 [2a₁ + (N-1) d]

Súčet S_n môže byť konečný alebo nekonečný, podľa počtu výrazov.

Viac informácií o Geometrickej sérii

Geometrická séria je séria s kvocientom konštantných po sebe nasledujúcich čísel. Je to dôležitá séria nájdená v štúdii tejto série, kvôli vlastnostiam, ktoré má.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i = 1} ar^ja

Na základe pomeru r možno správanie série klasifikovať nasledovne. r = | r | ≥1 série sa líšia; r≤1 konverguje séria. Tiež, ak r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Súčet geometrických radov sa môže vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); kde a je počiatočný člen a r je pomer. Ak je pomer r ≤ 1, séria konverguje. Pre nekonečnú sériu je hodnota konvergencie daná S_n= a / (1-r).

Geometrická séria má mnoho aplikácií v oblasti fyzikálnych vied, strojárstva a ekonómie

Aký je rozdiel medzi aritmetickými a geometrickými radmi??

• Aritmetická séria je séria s konštantným rozdielom medzi dvoma susednými výrazmi.

• Geometrická séria je séria s konštantným kvocientom medzi dvoma po sebe nasledujúcimi výrazmi.

• Všetky nekonečné aritmetické rady sa vždy líšia, ale v závislosti od pomeru môžu byť geometrické rady konvergentné alebo divergentné.

• Geometrická séria môže mať v hodnotách osciláciu; to znamená, že čísla striedavo menia svoje znamenia, ale aritmetické rady nemôžu mať kmity.