Rozdiel medzi asociatívnymi a komutatívnymi

Asociatívne vs komutatívne
 

V našom každodennom živote musíme čísla používať vždy, keď potrebujeme niečo odmerať. V obchode s potravinami, na benzínovej stanici a dokonca aj v kuchyni musíme sčítať, odčítať a vynásobiť dve alebo viac množstiev. Z našej praxe vykonávame tieto výpočty bez námahy. Nikdy si nevšimneme ani nespochybňujeme, prečo robíme tieto operácie týmto konkrétnym spôsobom. Alebo prečo sa tieto výpočty nedajú robiť iným spôsobom. Odpoveď je skrytá v tom, ako sú tieto operácie definované v matematickom poli algebry.

V algebre je operácia zahŕňajúca dve veličiny (napríklad sčítanie) definovaná ako binárna operácia. Presnejšie povedané, ide o operáciu medzi dvoma prvkami zo súboru a tieto prvky sa nazývajú „operand“. Mnoho operácií v matematike vrátane aritmetických operácií uvedených vyššie a operácií, s ktorými sa stretávame v teórii množín, lineárnej algebry a matematickej logiky, možno definovať ako binárne operácie.

Existuje určitý súbor riadiacich pravidiel týkajúcich sa konkrétnej binárnej operácie. Asociatívne a komutatívne vlastnosti sú dve základné vlastnosti binárnych operácií.

Viac informácií o komutatívnom vlastníctve

Predpokladajme, že na prvkoch sa vykonáva binárna operácia označená symbolom ⊗ a B. Ak poradie operandov neovplyvňuje výsledok operácie, potom sa táto operácia považuje za komutatívnu. t.j. ak ⊗ B = B ⊗ potom je operácia komutatívna.

Sčítanie a násobenie aritmetických operácií je komutatívne. Poradie čísel, ktoré sa spočítajú alebo vynásobia, nemá vplyv na konečnú odpoveď:

+ B = B +     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

× B = B ×      ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Ale v prípade zmeny rozdelenia v poradí dáva recipročnú hodnotu druhej a pri odpočítaní zmena dáva záporné druhej. teda,

- B ≠ B -      4 - 5 = -1 a 5 - 4 = 1

÷ B ≠ B ÷      4 4 5 = 0,8 a 5 4 4 = 1,25 [v tomto prípade ,B ≠ 1 a 0]

V skutočnosti sa odpočítanie považuje za anti-komutatívne; kde - B = - (B - ).

Logické spojky, spojenie, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia sú tiež komutatívne. Pravdivé funkcie sú tiež komutatívne. Nastavená operácia spojenia a križovatka sú komutatívne. Sčítanie a skalárny produkt vektorov sú tiež komutatívne.

Odčítanie vektorov a vektorový produkt však nie sú komutatívne (vektorový produkt dvoch vektorov je komutatívny). Sčítanie matíc je komutatívne, ale násobenie a odčítanie nie sú komutatívne. (Násobenie dvoch matíc môže byť vo zvláštnych prípadoch komutatívne, napríklad vynásobenie matice jej inverznou maticou alebo maticou identity; matice určite nie sú komutatívne, ak matice nie sú rovnakej veľkosti)

Viac informácií o asociačnom vlastníctve

Binárna operácia sa považuje za asociatívnu, ak poradie vykonávania nemá vplyv na výsledok, keď sú prítomné dva alebo viac výskytov operátora. Zvážte prvky A, B a C a binárna operácia ⊗. Operácia ⊗ sa považuje za asociatívnu, ak

⊗ B ⊗ C = ⊗ (B ⊗ C) = (⊗ B) ⊗ C

Zo základných aritmetických funkcií je asociatívny iba sčítanie a násobenie.

+ (B + C) = (+ B) + C     4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

× (B × C) = (× B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Odčítanie a rozdelenie nie sú asociatívne;

- (B - C) ≠ (- B) - C     4 - (5 - 3) = 2 a (5 - 4) - 3 = -2

÷ (B ÷ C) ≠ (÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 a (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Logická disjunkcia spojov, ich spojenie a ekvivalencia sú asociatívne, rovnako ako spojenie operácií a križovatky množín. Pridanie matrice a vektora je asociatívne. Skalárny produkt vektorov je asociatívny, ale vektorový produkt nie je. Násobenie matíc je asociatívne iba za osobitných okolností.

Aký je rozdiel medzi komutatívnym a asociačným vlastníctvom?

• Asociatívne aj komutatívne vlastníctvo sú špeciálne vlastnosti binárnych operácií a niektoré ich spĺňajú a niektoré nie..

• Tieto vlastnosti možno vidieť v mnohých formách algebraických operácií a iných binárnych operáciách v matematike, ako je napríklad priesečník a spojenie v teórii množín alebo logické spojivá..

• Rozdiel medzi komutatívnym a asociatívnym je v tom, že komutatívny majetok uvádza, že poradie prvkov nemení konečný výsledok, zatiaľ čo stavy asociatívneho vlastníctva, že poradie, v ktorom sa operácia vykonáva, nemá vplyv na konečnú odpoveď..